Dimostrare che un linguaggio non è libero con il Pumping Lemma linguaggi liberi

Questo è un esercizio svolto per determinare se un linguaggio è libero usando il pumping lemma linguaggi liberi. Quindi bisogna dimostrare che un certo linguaggio L non è libero.
Sia un linguaggio, dimostrare che non è libero.

Devo usare il Pumping Lemma linguaggi liberi.
Quindi
tale che

Valgono quelle condizioni (1), (2) e (3)

Come per il pumping lemma linguaggi regolari, mostrato con un esercizio semplice qui, devo prendere UNA stringa z, trovare tutte le sue scomposizioni possibili di z che rispettano le prime 2 condizioni del linguaggio e infine controllare che gonfiando o sgonfiando z si esca dal linguaggio (ovvero che la stringa gonfiata o sgonfiata non appartiene al linguaggio), controllare quindi che sia la condizione (3) a non essere rispettata. Se accade questo per tutte le scomposizioni di z allora il Pumping Lemma non vale.

Prendo la stringa
La scomposizione possibile è Z =
con i < p


il pompaggio aumenta il numero di a e quindi


spompando otteniamo perchè fallisce la condizione della potenza di 2 sulle b

Quindi il Pumping Lemma linguaggi liberi non vale e L non è libero.